4.2. Normalni raspored

Normalni raspored predstavlja jedan od najčešće korišćenih rasporeda neprekidnih oblježja u statistici. Za slučajnu promjenljivu kažemo da ima normalan raspored ako je karakterišu neprekidne vrijednosti i ako je njena funkcija gustine definisana kao:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

gdje je $\pi$ konstanta približno jednaka 3.141, $e$ takođe konstanta približno jednaka 2.718, $\mu$ aritmetička sredina promjenljive i $\sigma$ standardna devijacija slučajne promjenljive. Osobine normalnog rasporeda su:

1. normalna kriva ima oblik zvona i simetrična je u odnosu na aritmetičku sredinu;

2. aritmetička sredina i medijana međusobno su jednake;

3. relativna mjera asimetričnosti (skewness) jednaka je 0, dok je relativna mjera spljoštenosti (kurtosis) 3.

Primjer 33: U fajlu PD.csv dati su podaci za vjerovatnoće defaulta (PD) portfolija stanovništva za period od posljednjih 120 mjeseci. Importovati fajl, a zatim izračunati aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju PD-ija. Pod pretpostavkom da PD prati normalni raspored, izračunati vjerovatnoću da će ostvareni PD biti:

a) manji od 1.8%; b) veći od 2.7%; c) u intervalu od 2.5% do 3.2%

> #import PD.csv fajla iz radnog direktorijuma (getwd() za provjeru radnog direktorijuma)
> db <- read.csv("PD.csv", header = TRUE)
> #aritmeticka sredina i standardna devijacija PD-ija
> as.pd <- mean(db$PD)
> as.pd
[1] 0.02272998
> sd.pd <- sd(db$PD)
> sd.pd
[1] 0.004715775
> #a) P(PD < 1.8%) za PD iz normalnog rasporeda sa as.pd i sd.pd
> a <- 0.018
> pnorm(q = a, mean = as.pd, sd = sd.pd, lower.tail = TRUE)
[1] 0.1579275
> #b) P(PD > 2.7%) za PD iz normalnog rasporeda sa as.pd i sd.pd
> b <- 0.027
> pnorm(q = b, mean = as.pd, sd = sd.pd, lower.tail = FALSE)
[1] 0.1826066
> #c) P(2.5% < PD < 3.2%) za PD iz normalnog rasporeda sa as.pd i sd.pd
> c1 <- 0.025
> c2 <- 0.032
> cum.prob.c2 <- pnorm(q = c2, mean = as.pd, sd = sd.pd, lower.tail = TRUE)
> cum.prob.c1 <- pnorm(q = c1, mean = as.pd, sd = sd.pd, lower.tail = TRUE)
> cum.prob.c2 - cum.prob.c1
[1] 0.2904637
> #grafik intervala vjerovatnoca
> set.seed(1)
> pn <- rnorm(100e3, mean = as.pd, sd = sd.pd)
> pn.d <- density(pn)
> plot(pn.d, xlab = "PD", ylab = "Funkcija gustine", main = "Funkcija gustine PD")
> abline(h = 0)
> c.region <- seq(c1, c2, by = 0.0001)
> c.d <- dnorm(c.region, mean = as.pd, sd = sd.pd)
> polygon(c(c1, c.region, c2),c(0, c.d, 0), col = "grey")
> text(x = c2, y = mean(pn.d$y), "P(2.5% < PD < 3.2%)", col = "black", cex = 0.8, pos = 4)