4.1. Binomni raspored

Binomni raspored predstavlja raspored prekidnih obilježja i koristi se kada slučajna promjenljiva može da uzme jednu od dvije moguće vrijednosti, koje su međusobno isključive. Obično se ovi ishodi označavaju kao uspjeh i neuspjeh (primjeri: modeli vjerovatnoće defaulta, PD - dobar/loš, churn modeli - ostaje/ napušta, modeli prijevremene otplate - otplaćuje prije vremena/redovno otplaćuje…). Binomni raspored u potpunosti je određen brojem pokušaja (n) i vjerovatnoćom uspjeha, tj. uspješnog ishoda (p). Funkcija vjerovatnoće binomnog rasporeda definisana je sljedećom formulom:

$$P(Y = j) = \begin {pmatrix} n \\ j \end {pmatrix} p^j(1-p^j)^{n-j}$$

gdje:

$$\begin {pmatrix} n \\ j \end {pmatrix} = \frac{n!}{j!(n-j)!}$$

predstavalja binomni koeficijent, $n$ broj pokušaja, $j$ vrijednost za koji računamo vjerovatnoću i $p$ vjerovatnoću uspjeha.

Primjer 29: Na osnovu istorijskih podataka o razvoju portfolija u posljednjih 10 godina, izračunata je prosječna vjerovatnoća defaulta (PD) od 2.5%. Kolika je vjerovatnoća da će od narednih 1000 novoodobrenih kredita defaultnih biti između 20 i 40, ukoliko se prosječni PD smatra stvarnim?

> #P(20 < X < 40) za X iz binomne distribucije sa parametrima n = 1000 i p = 2.5% (pd)
> pd <- 0.025
> n <- 1000
> d <- c(20, 40)
> sum(dbinom(x = c(d[1] + 1):c(d[2] + 1), size = n, prob = pd))
[1] 0.8167772 

Primjer 30: Za PD iz Primjera 26 izračunati vjerovatnoću da će od narednih 1000 novoodobrenih kredita defaultnih biti manje od 25, ukoliko se prosječni PD smatra stvarnim.

> #P(X < 25) za X iz binomne distribucije sa parametrima n = 1000 i p = 2.5% (pd)
> pd <- 0.025
> n <- 1000
> d <- 25
> pbinom(q = d - 1, size = n, prob = pd, lower.tail = TRUE)
[1] 0.4723898 

Primjer 31: Za PD iz Primjera 26 izračunati vjerovatnoću da će od narednih 1000 novoodobrenih kredita, defaultnih biti 40 ili više, ukoliko se prosječni PD smatra stvarnim.

> #P(X >= 40) za X iz binomne distribucije sa parametrima n = 1000 i p = 2.5% (pd)
> pd <- 0.025
> n <- 1000
> d <- 40
> pbinom(q = d, size = n, prob = pd, lower.tail = FALSE)
[1] 0.001781078

Pored vjerovatnoća nekog kvantila, možemo računati i vrijednosti (kvantile) za zadatu vjerovatnoću koristeći funkciju qbinom , koja je inverzna funkcija funkcije pbinom.

Primjer 32: Dat je prosječni PD od 2.5%. Pod pretpostavkom da PD prati binomni raspored, za 1000 novoodobrenih kredita koji je maksimalni broj default iznad kojeg postoji svega 10% vjerovatnoće da će ostvareni PD biti veći od prosječnog?

> pd <- 0.025
> n <- 1000
> p <- 0.1
> broj.defaulta <- qbinom(p = p, size = n, prob = pd, lower.tail = FALSE)
> broj.defaulta
[1] 31
> #provjera - funkcija kumilativne vjerovatnoce
> pbinom(q = broj.defaulta, size = n, prob = pd, lower.tail = FALSE)
[1] 0.09729042
> #provjera - simulacija
> set.seed(321)
> rb <- rbinom(n = 10e3, size = n, prob = pd)
> sum(rb > broj.defaulta) / length(rb)
[1] 0.0975
> #grafik
> pb <- dbinom(rb, size = n, p = pd)
> plot(rb, pb, type = "h" , xlab = "Moguce vrijednosti - broj default", ylab = "Vjerovatnoca ostvarenja",
+ main = paste0("Binomni raspored n = ",  n, " p = ", paste0(pd * 100, "%")), col = "red")