6.8.1. Jarque-Bera test normalnosti

Jarque-Bera test testira da li vrijednosti analiziranog obilježja prate normalni raspored i to na način što ispituje da li se koeficijent asimetričnosti (engleski skewness) i spljoštenosti (engleski kurtosis) poklapaju sa očekivanim vrijednostima iz normalnog rasporeda (0 i 3). Test statistika ima sljedeću formu:

$$JB = \frac{n}{6}(s^2 + \frac{(k-3)^2}{4})$$

gdje $n$ predstavlja broj opservacija analiziranog obilježja, $s$ predstavlja vrijednosti koeficijenta asimetričnosti, dok $k$ predstavlja vrijednost koeficijenta spljoštenosti. Izračunata test statistika prati hi-kvadrat raspored sa dva stepena slobode. Nulta hipoteza testa jeste da vrijednosti analiziranog obilježja prate normalni raspored, tako da ukoliko je izračunata p vrijednost manja od nivoa značajnosti, u tom slučaju možemo odbaciti nultu hipotezu.

U zavisnosti od načina računanja koeficijenata asimetričnosti i spljoštenosti moguće je da različiti R paketi daju neznatno drugačije rezultate test statistike. Potencijalna razlika trebalo bi da se odnosi jedino na imenilac izraza za računanje varijanse za koeficijente asimetričnosti i spljoštenosti koja uzima vrijednosti $n-1$ (obično računat za uzorak) ili $n$ (obično računat za populaciju). Naredni primjer pretpostaviće da se koeficijenti oblika distribucije računaju za populaciju, kako bi se reprodukovali isti rezultati implementacije testa iz R paketa tseries.

Primjer 53: Importovati podatke iz fajlova PD.csv i LGD.csv, a zatim testirati normalnost obilježja PD (kolona PD), realizovanog LGD-ija (kolona LGDR) i ocijenjenog LGD-ija (kolona LGDE) primjenom Jarque-Bera testa za nivo značajnosti od 5%.

> #import podataka
> pd <- read.csv("PD.csv", header = TRUE)
> lgd <- read.csv("LGD.csv", header = TRUE)
> #nivo znacajnosti
> alpha <- 0.05
> #korisnicka funkcija
> jb.n.test <- function(x) {
+ n <- length(x)
+ m1 <- sum(x) / n
+ m2 <- sum((x - m1)^2) / n
+ m3 <- sum((x - m1)^3) / n
+ m4 <- sum((x - m1)^4) / n
+ s <- (m3 / m2^(3 / 2))
+ k <- (m4 / m2^2)
+ jb <- (n / 6) * (s^2 + (k - 3)^2 / 4)
+ p.val <- pchisq(jb, df = 2, lower.tail = FALSE)
+ res <- data.frame(test.stat = jb, p.val = p.val)
+ return(res)
+ }
> jb.pd <- jb.n.test(x = pd$PD)
> jb.pd 
  test.stat       p.val
1  9.877431 0.007163795
> jb.pd$p.val < alpha
[1] TRUE
> jb.lgdr <- jb.n.test(x = lgd$LGDR)
> jb.lgdr
  test.stat     p.val
1 0.4815551 0.7860165
> jb.lgdr$p.val < alpha
[1] FALSE
> jb.lgde <-jb.n.test(x = lgd$LGDE)
> jb.lgde
  test.stat     p.val
1  1.404975 0.4953517
> jb.lgde$p.val < alpha
[1] FALSE
> #r funkcija - paket tseries
> #ukoliko paket nije instaliran pokrenuti prethodno:
> #install.packages("tseries")
> library(tseries)
> jarque.bera.test(pd$PD)

        Jarque Bera Test

data:  pd$PD
X-squared = 9.8774, df = 2, p-value = 0.007164

> jarque.bera.test(lgd$LGDR)

        Jarque Bera Test

data:  lgd$LGDR
X-squared = 0.48156, df = 2, p-value = 0.786

> jarque.bera.test(lgd$LGDE)

        Jarque Bera Test

data:  lgd$LGDE
X-squared = 1.405, df = 2, p-value = 0.4954